Отношение ○ во множестве A называется отношением эквивалентности, если оно одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

 

 

 Всякое отношение эквивалентности  во множестве A позволяет специальным образом различать элементы этого множества. Обозначим через C (a) множество всех элементов x из A, таких, что  Это множество является подмножеством A, которое называется классом эквивалентности a. Если  то в силу симметричности и транзитивности отношения  любой элемент x, эквивалентный a, эквивалентен и b. Если же b не эквивалентен a, то C (a) и C (b) не имеют общих элементов, потому что если  и , то в силу симметричности  и , и в силу транзитивности  что противоречит условию. Таким образом, отношением эквивалентности множество A разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности, при котором каждый элемент A попадает в свой класс.

 

 Как мы видели в приведенных выше примерах, равенство на множестве отрезков является отношением эквивалентности и задает его разбиение на классы эквивалентности. Каждый такой класс содержит отрезки заданной длины.

 

Определение 16.4.

 

 Отношение "○" рефлексивно, если для любого элемента a из множества A выполнено a○a (т.е. любой элемент связан отношением ○ с самим собой).

 Например: отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, так как любой отрезок равен сам себе.

 

 

Определение 16.5.

 

 Отношение ○ симметрично, если из a○b следует b○a для любых элементов a и b множества A. Отношение равенства на множестве отрезков является симметричным, так как если [AB] = [CD], то и [CD] = [AB].

 

 

Определение 16.6.

 

 Отношение ○ называется транзитивным, если из того, что a○b и b○c следует, что a○c. В частности, отношение равенства отрезков рефлексивно, так как если отрезок AB равен отрезку CD, а отрезок CD равен отрезку MN, то отрезок AB равен отрезку MN.